snelnaardata
 

Oplossen van niet-lineaire vergelijkingen: Brents methode

Niet-lineaire vergelijkingen komen veelvuldig voor in procestechnische berekeningen. Het probleem bestaat erin om de waarde van x te bepalen zodat f(x) = 0 waarbij f(x) een niet-lineaire functie is van x.

Eén van de meest eenvoudige methoden om het nulpunt(en) te bepalen is een grafiek te maken van de functie. Hierdoor kan men reeds op een eenvoudige manier nagaan of de functie één, meer of geen nulpunten heeft.

Indien een benaderende oplossing gekend is, of het interval waarbinnen de oplossing moet liggen is gekend, dan bestaat er een aantal manieren om de oplossing te verfijnen. Indien het mogelijk is om een nulpunt zodanig te omsluiten dat de functiewaarden van beide grenspunten een tegengesteld teken hebben, dan kan een oplossing steeds gevonden worden.

Door de tussenwaardestelling weten we zeker dat de functie f(x) een oplossing heeft binnen het interval [a, b], indien de functie van teken verandert, met andere woorden f(a).f(b)<0. Het is dus van groot belang te kunnen starten met de wetenschap dat er een oplossing is in het domein waarbinnen er wordt gezocht. Het is meestal mogelijk om ook een interval aan te duiden waarbinnen de oplossing van de vergelijking moet liggen.

In de literatuur worden routines opgegeven die voor de te onderzoeken functie een interval bepalen waarbinnen een oplossing ligt.

De beschikbare methodes kunnen op verschillende wijzen worden ingedeeld; met intervalmethodes worden die technieken bedoeld die er zich alleen op richten om het omsluitende interval te verkleinen en die in feite weinig of geen rekening houden met de functie zelf, alleen maar met het teken (positief of negatief) dat de functie aanneemt. De methoden vereisen ook de kennis van twee startpunten (die het interval bepalen).

Intervalmethoden:

- bisectiemethode;

- regula-falsimethode.

Bij de andere groep (open methoden, die geen omsluitend interval vereisen) gaat de methode ook informatie trachten te verwerken over het gedrag van de functie. Dit levert dan meestal een snellere convergentie op. Deze methoden vereisen ook maar n startpunt om de iteratie te starten:

- Newton-Raphson;

- vastpuntiteratie.

 

 

Bron: Handboek procestechnieken en -engineering,  2001.

originaltype: 
pdf
 
Meer lezen over Oplossen van niet-lineaire vergelijkingen: Brents methode?